Yükleniyor ...




ÖZGÜR HOCADAN SORULAR


Soru:

Her bir kenarının uzunluğu a olan bu karenin içinde 4 adet 1/4 daire kesişmektedir. Bu dört adet 1/4 dairenin kesişimi taranmıştır. Taralı alan a cinsinden nedir ?

Üniversite özel ders, matematik özel dersler, özel ders,sınav özel ders, kadıköy özel ders, lise özel ders
Soru:

Bir adada üç kişi var (P, T, K kişileri). Bunlardan birisi her zaman doğruyu söyler, bir diğeri her zaman yalan söyler. Üçüncü kişi ise rastgele biçimde ya doğru söyler ya da yalan söyler. (Küçük bir ipucu: Bunu bir devre anahtarının açık ya da kapalı olması gibi ikili bir durum olarak düşünebilirsiniz. Siz açık mı kapalı mı bilmiyorsunuz.) Siz istediğiniz kişi veya kişilere yanıtı "evet" ya da "hayır" olabilecek 3 soru sorarak P, T ve K'nın kimliklerini tespit edebilir misiniz? Fakat bir zorluk da şu: Adamların dilini de bilmiyorsunuz. (Tabii ki onlar sizin dilinizi biliyorlar ama sadece kendi dillerinde yanıt verecekler.) Örneğin evet için "hebe" hayır için "hübe" diye yanıt verecekler. Hangisi "evet" demek hangisi "hayır" demek bilmiyorsunuz.

Çözüm:

Bu soru kolay gözükmesine rağmen biraz zorlayıcı bir sorudur ve ileri düzey mantık bilgisi gerektir. Bu sorunun 10’dan fazla biçimi vardır ve en zor biçimi budur ve diğer biçimleri de karışıktır. Özellikle sorunun bu biçimi için ileri düzeyde mantıksal bağlaçlar kullanmak gerekir. Hatta literatürde bu soru üzerine çeşitli makaleler de var. Örneğin

“Some Thoughts about the Hardest Logic Puzzle Ever”
http://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1013344220298

“A simple solution to the hardest logic puzzle ever”
https://skatgame.net/mburo/ps/gods.pdf

Ayrıca bu soru ile ilgili şu kitaba da bakabilirsiniz:
Raymond Smullyan, The Riddle of Sheherazade (A. A. Knopf, Inc., New York, 1997).

Şu makale de bu soruya ilişkin temel makaledir:
George Boolos, The hardest logic puzzle ever (The Harvard Review of Philosophy, 6:62–65, 1996).

Şimdi çözümü anlatayım:

İlk başta şu ipucu meselesine değineyim. Bu soruyu okuyan çoğu kişi Rastgele'nin cevaplarını tamamen rastgele olarak algılamakta ama verilen ipucu durumu netleştirmekte. Cevap veren adamın cevapları tamamen rastgele değil, o ya hep doğru söylüyor ya da hep yalan söylüyor olacaktır. Burada rastgele olan şey onun rastgele biçimde "doğrucu" ya da "yalancı" olacağıdır.

Şimdi çözümü anlamak için bir hazırlık yapalım. Şöyle bir soruyu göz önüne alalım: "Eğer sana 'iki artı iki DÖRT eder mi?' diye sormuş olsaydım, bana vereceğin cevap 'hebe' mi olurdu?" Bir an için "hebe"nin evet ve "hübe"nin hayır anlamına geldiğini düşünelim. Bu durumda 2 olası şey vardır. Eğer biz doğrucuya sormuşsak yanıtı "hebe" olacaktır. Doğrucu doğru söylediğine göre 'iki artı iki dört eder mi?' sorusunun yanıtı da "hebe", yani evettir. Yok eğer biz bu soruyu yalancıya sormuşsak yanıtı gene "hebe" olacaktır. Çünkü yalancı "iki artı iki DÖRT eder mi?" sorusuna "hübe" demek durumunda olduğundan, "Eğer sana 'iki artı iki DÖRT eder mi?' diye sormuş olsaydım, bana vereceğin cevap 'hebe' mi olurdu?" sorusuna da "hebe" yanıtını verecektir. Buna karşılık, soruyu şöyle kursaydık: "Eğer sana 'iki artı iki BEŞ eder mi?' diye sormuş olsaydım, bana vereceğin cevap 'hebe' mi olurdu?" Bu durumda da hem doğrucu hem de yalancı "hübe" yanıtını verecektir. Şimdi bir an için de "hübe"nin evet ve "hebe"nin hayır anlamına geldiğini düşünelim. Bu durumda "Eğer sana 'iki artı iki DÖRT eder mi?' diye sormuş olsaydım, bana vereceğin cevap 'hebe' mi olurdu?" sorusuna verilecek cevaplar için 2 olası durum vardır: Eğer biz doğrucuya sormuşsak yanıtı "hebe" olacaktır. Doğrucu doğru söylediğine göre 'iki artı iki dört eder mi?' sorusunun yanıtı bu kez "hübe", yani evettir. Bu durumda doğrucu çift tırnak içindeki soruya gene "hebe" diye yanıt vermiş olacaktır. Yok eğer biz bu soruyu yalancıya sormuşsak yanıtı "hebe" olacaktır. Çünkü yalancı "iki artı iki DÖRT eder mi?" sorusuna "hübe" demek durumunda olduğundan, "Eğer sana 'iki artı iki DÖRT eder mi?' diye sormuş olsaydım, bana vereceğin cevap 'hebe' mi olurdu?" sorusuna da "hebe" yanıtını verecektir. Buna karşılık, soruyu şöyle kursaydık: "Eğer sana 'iki artı iki BEŞ eder mi?' diye sormuş olsaydım, bana vereceğin cevap 'hebe' mi olurdu?" Bu durumda da hem doğrucu hem de yalancı "hübe" yanıtını verecektir. Demek ki eğer tek tırnağın içindeki cümle doğru ise soruyu sorduğumuz ister yalancı olsun ister doğrucu olsun verilecek cevap "hebe"dir. Eğer tek tırnağın içindeki cümle yanlış ise soruyu sorduğumuz ister yalancı olsun ister doğrucu olsun verilecek cevap "hübe"dir.

Bu kısımlar yeterince açık olduysa artık cevabı anlamak biraz daha kolay olacak.

Böyle incelikli bir yaklaşımla tek tırnağın içindeki önermenin doğruluk değerini kolayca anlayabildiğimizden dolayı, o cümleyi öyle bir kurmalıyız ki kişilerin durumunu tespit edebilelim. T kişisine şunu sorarak başlayabiliriz: "Sana 'P rastgeleci mi?' diye sorsam, 'hebe' mi derdin?" T'nin yanıtı 'hebe' olursa, ya T rastgelecidir (elbette rastgele yanıt vermektedir) ya da T rastgeleci değildir ve rastgeleci kesinlikle P'dir. İki durumda da K rastgeleci değildir. T'nin yanıtı 'hübe' olursa, ya T rastgelecidir (ve rastgele yanıt vermektedir) ya da T rastgeleci değildir ve yanıta göre P de kesinlikle rastgele değildir. İki durumda da P rastgele değildir. Bir önceki soruya verilen yanıttan Rastgele olmadığı anlaşılan kişiye (Yani P'ye ya da K'ya) "Sana 'sen doğrucu musun?' diye sorsam, 'hebe' mi derdin?" diye sorarsak, T rastgele olmadığına göre, 'hebe' yanıtı onun doğrucu olduğunu, 'hübe' yanıtı ise onun yalancı olduğunu gösterir. Aynı kişiye şunu soralım: "Sana 'T rastgeleci mi?' diye sorsam, 'hebe' mi derdin?" Yanıt 'hebe' olursa, T rastgelecidir, yanıt 'hübe' olursa, henüz konuşmadığımız kişi rastgelecidir. Diğer kişinin kimliği ise böylece basitçe bulunabilir.

Çözüm işte bu kadar basit aslında!